Descrizione libro Un numero crescente di istituzioni in entrambi i mercati sviluppati e in via di sviluppo stanno adottando modelli di rischio quantitativi sia per ragioni di concorrenza e normative. Per il rischio di mercato, tali modelli sono basati su tecniche di Value-at-Risk (VaR). VaR è comunemente utilizzato per misurare quanto il valore di mercato di un bene o di un portafoglio di attività tende a diminuire nel corso di un certo periodo di tempo. Poiché le banche e istituzioni finanziarie fanno sempre più affidamento sul VaR per misurare il rischio di mercato dei loro portafogli di attività, queste aziende hanno bisogno di un numero sempre maggiore di dipendenti con esperienza in tali modelli. In molti casi, il personale con esperienza tecnica sono promossi alle funzioni del rischio di mercato con una minima conoscenza della materia. Il VaR Riferimento mette insieme leading pubblicato ricerche e analisi su VaR e il rischio di mercato, rendendo questo un punto di riferimento unico per entrambi i professionisti e ricercatori. I collaboratori illustri presentano un ampio spettro di prospettive e di discutere i pro ei contro dei vari metodi per la modellazione del rischio di mercato. Si tratta di una sintesi preziosa per i professionisti in cerca di una valutazione indipendente del VaR e come e quando deve essere usato. Questo volume di approfondimento si concentra sui regolamenti, la modellazione e metodologie. Le aree chiave discussi includono: Definire VaR e dove e perché è utilizzato I pro ei contro di misure di VaR misura di rischio alternativa e perché non sono popolari modellazione volatilità, in particolare volatilità multivariata metodi State-of-the-art come la teoria dei valori estremi e copule. una lettura essenziale per i gestori del rischio, commercianti, quants e ingegneri finanziari che lavorano in banche, imprese di investimento, società di gestione del risparmio, le case di assicurazione e autorità di regolamentazione. Si raccomanda anche per master, dottorandi e docenti ricerca di questo settore. Vendi i tuoi ISBN 9.781.904,339816 millions Pubblicare data 1 ago 2007 Formato Dimensioni 155 millimetri x 235 millimetri Editor biografia di Jon Jon Danielsson Danielsson ha un dottorato di ricerca in economia dei mercati finanziari, ed è attualmente un lettore in finanza presso la London School of Economics. Le sue aree di ricerca comprendono rischi finanziari, regolamentazione dei mercati finanziari, la volatilità del mercato, modelli di movimenti estremi dei mercati, e la microstruttura dei mercati dei cambi. Ha pubblicato il suo lavoro in una serie di riviste accademiche e professionisti, e discusso il suo lavoro in un certo numero di università, istituzioni finanziarie e agenzie governative. Indice Sezione 1. Le misure di rischio 1. Philippe Artzner, Freddy Delbaen, Jean-Marc Eber, e David Heath, Pensando Coerentemente (Risk, novembre 1997) 2. G. Kaplanski e Y. Kroll, Value-at-Risk Indicatore di rischio vs Misure di rischio tradizionali: l'analisi e la Survey (JOR 4.3, primavera 2002) 3. A. Pfingsten, P. Wagner e C. Wolferink, un'indagine empirica del rango di correlazione tra le diverse misure di rischio (JOR 6.4, estate 2004) 4. A. Chabaane, J.-P. Laurent, Y. MALEVERGNE e F. Turpin, Misure alternative di rischio per gli investimenti alternativi (JOR 8.4, estate 2006) Sezione 2. Stima dei modelli di rischio 5. Jon Danielsson e Philipp HartmannampCasper De Vries, il costo del conservatorismo (Risk gennaio 98) 6 . Torben Andersen, Tim Bollerslev, Francesco Diebold, e Paul Labys, Grande Realizzazione (Risk, marzo 2000) 7. JH Venter e PJ de Jongh, Selezione di una distribuzione di innovazione per i modelli GARCH per migliorare l'efficienza del rischio e la stima di volatilità (JOR 6.3, primavera 2004) 8. J. Hull e A. Bianco, Incorporando la volatilità aggiornamento nel metodo della simulazione storica per il VaR (JOR 1.1, Fall 1998) 9. Peter Christoffersen e S237lvia Gon231alves, la valutazione del rischio nella gestione dei rischi finanziari (JOR 7.3, primavera 2005 ) Sezione 3. modelli multivariati, le correlazioni, Copule 10. Robert Engle e Joseph Mezrich, GARCH per gruppi (rischio, agosto 1996) 11. S. Turkay, E. Epperlein e N. Christofides, di stress test per Correlazione valore a rischio (JOR 5.4, estate 2003) 12. F. Audrino e P. Buhlmann, Sincronizzazione multivariata serie finanziarie (JOR 6.2, Inverno 200304) 13. Y. MALEVERGNE e D. Sornette, come contabilizzare estreme co-movimenti tra i singoli titoli e il mercato (JOR 6.3, primavera 2004) SEZIONE 4. grandi Eventi, Crisis, e Fat Tails 14. Paul EmbrechtsampSidney ResnickampG. Samorodnisky, Living on the Edge (Risk, gennaio 1998) 15. Michael Dacorogna e Peter Blum, si muove forex estremo (rischio, febbraio 2003) 16. John Hull, La legge di potenza (Risk, marzo 2007) 17. Koedijk, R. Huisman, e Rachel Pownall, VaR-x: code grasse nella gestione dei rischi finanziari (JOR 1.1, Fall 1998) 18 . C. Brooks e G. Persand, Value-at-risk e crash del mercato (JOR 2.4, estate 2000) SEZIONE 5. Valutazione di modelli e sistemi (prove di schiena e stress test) 19. Turan Bali e Salih Neftçi, la relatività della La volatilità (rischio, aprile 2001) 20. Jeremy Berkowitz, ipotesi di test (di rischio, maggio 2002) 21. J. Lopez, di valutazione sulla regolamentazione dei modelli di valore a rischio (JOR 1.2, Inverno 199.899) 22. Gerhard Stahl, Carsten S. WehnampAndreas Zapp, backtesting all'interno del portafoglio di negoziazione (JOR 8.2, Inverno 200506) 23. Sean D. Campbell, una revisione delle procedure di backtesting e di backtesting (JOR 9.2, Inverno 200607) I clienti che hanno acquistato questo hanno acquistato anche una raccolta dei più significativi e influenti articoli pubblicati nel Journal of Risk selezionati e introdotti dal redattore capo Philippe Jorion - in un volume anniversario che presenta il corpo frontiere della conoscenza in metodi quantitativi per misurare i rischi finanziari dei portafogli complessi. A cura di Philippe Jorion Rivolto a utenti avanzati di modelli di valutazione delle opzioni, questo rapporto tecnico è una guida passo-passo per ingegneri finanziari alla ricerca di nuove tecniche quantitative per la valutazione e opzioni di prezzo. Con Marcello Minenna e Paolo Verzella Per molto tempo, il nuovo accordo di Basilea è stato identificato per lo più con Pillar I. Come pilastro modelli II hanno iniziato a stabilire e validato, le banche sono diventate sempre più consapevoli della rilevanza strategica del secondo pilastro. Pillar II nel Nuovo Accordo di Basilea: la sfida di Capitale Economico vi porta attraverso ogni filone principale di secondo pilastro. Esso affronta il quadro normativo e mostra come conciliare le diverse fonti normative. A cura di Andrea Resti con prefazione di Michael GordyElements di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 1 backtesting e stress test Elementi di Financial Risk Management. Presentazione sul tema di: Elementi di Gestione dei rischi finanziari Seconda Edizione 2012 by Peter Christoffersen 1 backtesting e stress test Elementi di Financial Risk Management. Presentazione trascrizione: 1 Elementi di Gestione dei rischi finanziari Seconda Edizione 2012 by Peter Christoffersen 1 backtesting e stress test Elementi di Gestione dei rischi finanziari Capitolo 13 Peter Christoffersen 2 Panoramica L'obiettivo di questo capitolo è quello di prendere in considerazione le previsioni di misura ex rischio ante dal modello e confrontare li con il portafoglio ex post realizzata restituire la misura di rischio del tempo potrebbe assumere la forma di un Value-at-Risk (VaR), registrerà un deficit (ES), la forma di tutta la distribuzione di ritorno, o forse la forma della coda sinistra della distribuzione solo Vogliamo essere in grado di backtest una qualsiasi di queste misure di rischio di interesse le procedure backtest può essere visto come un controllo diagnostico finale sul modello di rischio globale, integrando così gli altri vari diagnostica specifici elementi di Gestione dei rischi finanziari seconda Edizione 2012 da Peter Christoffersen 2 3 Panoramica il materiale nel capitolo sarà coperto come segue: prendiamo un breve sguardo le prestazioni di alcuni VaR di vita reale da sei grandi banche commerciali il raggruppamento di violazioni di VaR in questi vita reale VaR fornisce cibo che fa riflettere per il pensiero stabiliamo procedure di backtesting VaR Iniziamo con l'introduzione di un semplice test incondizionato per la probabilità media di una violazione del VaR Abbiamo poi verificare l'indipendenza delle violazioni di VaR Infine, combinare prova incondizionato e test di indipendenza in una prova di elementi di copertura VaR condizionale corretti di Financial Risk Management Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 3 4 Panoramica consideriamo utilizzando le variabili esplicative di backtest il VaR Questo viene fatto in un quadro di regressione basata stabiliamo procedure di backtesting per la misura Expected Shortfall Noi allarghiamo la messa a fuoco per includere l'intera forma di la distribuzione dei rendimenti le previsioni distributivi può essere backtested così, e noi suggerire modi per farlo risk manager in genere si preoccupano più di avere una buona previsione della coda sinistra degli Elementi di distribuzione di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 4 5 Panoramica abbiamo quindi modifichiamo il test della distribuzione di concentrarsi su backtesting coda sinistra della distribuzione solo definiamo prove di stress e diamo una rassegna critica del modo in cui è spesso implementata sulla base di questa critica si suggerisce un quadro coerente per lo stress test Figura 13.1 mostra il prestazioni di qualche vita reale VaR la figura mostra i superamenti del VaR in sei grandi banche commerciali degli Stati Uniti nel corso del gennaio 1998 al marzo 2001 Elementi d'epoca di Financial Risk Management seconda edizione 2012 di Peter Christoffersen 5 6 Figura 13.1: superamento dei valori-at-Risk da sei principali Banche commerciali Elementi di Financial Risk Management Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 6 7 Panoramica Ogni volta che il rendimento del portafoglio realizzato è peggiore del VaR, la differenza tra i due è mostrato Ogni volta che il ritorno è meglio, lo zero è mostrata la differenza è diviso dalla deviazione standard del portafoglio in tutto il periodo di il ritorno è tutti i giorni, e il VaR è segnalato per un tasso di 1 copertura. Per essere precisi, abbiamo tracciare le serie storiche di elementi di Financial Risk Management Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 7 8 Panoramica Banca 4 non ha violazioni a tutti, e, in generale, le banche hanno un minor numero di violazioni di quanto previsto Così, le banche in media rapporto un VaR che è superiore a quello che dovrebbe essere questo potrebbe essere dovuto sia alle banche deliberatamente vogliono essere prudenti o sistemi di VaR essere prevenuto Un altro colpevole è che i rendimenti segnalati dalle banche contengono profitti nontrading-correlati, che aumentano il rendimento medio, senza sostanzialmente aumentando elementi di rischio del portafoglio di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 8 9 panoramica più importante, notare il raggruppamento di violazioni di VaR le violazioni per ciascuna delle Banche 1, 2, 3, 5, e 6 rientrano entro un breve lasso di tempo e spesso nei giorni adiacenti Questo raggruppamento di violazioni Var è un grave segno di modello di rischio misspecificazione Queste banche sono molto probabilmente basandosi su una tecnica come storica simulazione (HS), che è molto lento ad aggiornare il VaR quando aumenta la volatilità dei mercati Questo problema è stato discusso nel contesto del crollo del 1987 del mercato azionario nel Capitolo 2 Elementi di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 9 10 Panoramica si noti inoltre come le violazioni di VaR tendono ad essere raggruppati tra banche Molte violazioni sembrano essere legati al default della Russia e Long Term Capital Management salvataggio nell'autunno del 1998 il raggruppamento delle violazioni attraverso le banche è importante dal punto di vista del regolatore perché solleva la possibilità di una crisi nazionale bancaria Motivati dalle prove che fa riflettere di misspecificazione in banca commerciale VaR esistente, ora introdurre una serie di tecniche statistiche per i modelli di gestione del rischio di backtesting Elementi di Gestione dei rischi finanziari seconda edizione 2012 di Peter Christoffersen 10 11 backtesting VaR Ricordiamo che una misura di VaR p t1 promette che il rendimento effettivo sarà solo peggiore del VaR p t1 previsione p. 100 del tempo Se osserviamo una serie temporale tra passato ex previsioni ante var e restituisce ex post passati, siamo in grado di definire la sequenza colpo di violazioni di VaR come elementi di Gestione dei rischi finanziari Seconda Edizione 2012 by Peter Christoffersen 11 12 Backtesting VaR la sequenza di hit restituisce un 1 il giorno t1 se la perdita in quel giorno era più grande rispetto al numero VaR previsto in anticipo per quel giorno, se il VaR non è stato violato, la sequenza di successo restituisce un 0 Quando backtesting del modello di rischio, si costruisce una sequenza. attraverso giorni T che indicano quando le passate violazioni si sono verificate Elementi di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 12 13 l'ipotesi nulla se stiamo usando il modello VaR perfetta, poi dato tutte le informazioni a nostra disposizione al momento della previsione del VaR è fatta , non dovremmo essere in grado di prevedere se il VaR sarà violata nostre previsioni della probabilità di una violazione del VaR dovrebbe essere semplicemente p ogni giorno se potessimo prevedere le violazioni di VaR, quindi che informazioni potrebbero essere utilizzate per costruire una elementi del modello migliore di rischio di Financial Risk Management Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 13 14 l'ipotesi nulla il colpo sequenza delle violazioni dovrebbe essere completamente imprevedibile e quindi distribuito in modo indipendente nel corso del tempo come una variabile di Bernoulli che assume il valore 1 con probabilità p ed il valore 0 con probabilità (1 - p) scriviamo: Elementi di Gestione dei rischi finanziari seconda Edizione 2012 by Peter Christoffersen 14 Se p è di 12, quindi l'IID distribuzione di Bernoulli descrive la distribuzione di ottenere un testa quando lanciare una moneta. La funzione di distribuzione di Bernoulli è scritto 15 l'ipotesi nulla quando backtesting modelli di rischio, p non sarà 12, ma invece dell'ordine di 0,01 o 0,05 a seconda del tasso di copertura del VaR La sequenza di colpo da un modello correttamente specifico a rischio dovrebbe quindi essere simile una sequenza di lanci casuali di una moneta, che viene testa 1 o 5 del tempo a seconda degli elementi tasso di copertura del VaR di Gestione dei rischi finanziari seconda Edizione 2012 by Peter Christoffersen 15 16 incondizionato copertura test per prima cosa vogliamo verificare se la frazione di violazioni ottenuti per un particolare modello di rischio, lo chiamano, è significativamente diverso dalla frazione promesso, p chiamiamo questo l'ipotesi di copertura incondizionata per provarlo, noi scrivere la probabilità di un IID Bernoulli () ha colpito elementi di sequenza di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 16 dove T0 e T1 sono certo numero di 0 e 1 a campione Possiamo facilmente stimare da che è, la frazione osservato delle violazioni nella sequenza 17 incondizionato copertura Test Plugging la probabilità massima (ML) stima nuovamente dentro la funzione di verosimiglianza dà la probabilità ottimizzato come elementi di Gestione dei rischi finanziari seconda Edizione 2012 by Peter Christoffersen 17 Siamo in grado di verificare l'ipotesi di copertura incondizionata utilizzando un test del rapporto di verosimiglianza Sotto la copertura incondizionata ipotesi nulla che p, dove p è il noto tasso di copertura del VaR, abbiamo la probabilità 18 incondizionato copertura test Asintoticamente, che è, come il numero di osservazioni, T, va all'infinito, il test sarà distribuito come un 2 con un grado di libertà Sostituendo nella funzioni di verosimiglianza, si scrivono Elementi di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 18 maggiore è il valore uc LR è il più improbabile l'ipotesi nulla è per essere vero scelta di un livello di significatività di dire 10 per il test, avremo una critica valore dal 2 1 19 distribuzione incondizionata copertura Test Se il valore di prova uc LR è più grande. poi rifiutiamo il modello VaR al livello 10 In alternativa, possiamo calcolare il P-valore associato con la nostra statistica test Il P-value è definito come la probabilità di ottenere un campione che si conforma ancora meno per l'ipotesi nulla rispetto al campione abbiamo effettivamente ma ho visto che l'ipotesi nulla è vera Elementi di Gestione dei rischi finanziari seconda Edizione 2012 by Peter Christoffersen 19 20 incondizionato copertura test in questo caso, il P-value è calcolato come elementi di Gestione dei rischi finanziari seconda Edizione 2012 by Peter Christoffersen 20 Dove denota la funzione di densità cumulativa di una variabile 2 con un grado di libertà Se il P-valore è al di sotto del livello di significatività desiderato, quindi rifiutiamo l'ipotesi nulla Se, per esempio, ottiene un valore di prova di 3,5, quindi il P-valore associato è 21 incondizionata copertura test Se abbiamo un livello di significatività del 10, poi ci sarebbe rifiutare l'ipotesi nulla, ma se il nostro livello di significatività è solo 5, allora non avrebbe respinto l'ipotesi nulla che il modello di rischio è corretto, in media, la scelta del livello di significatività si riduce a una valutazione dei costi di fare due tipi di errori: potremmo rifiutare una corretta modello (errore di tipo i) o potremmo non rifiutare (cioè, accettare) un modello non corretto (tipo II errore). Aumentando il livello di significatività implica errori di tipo I più grandi ma più piccoli errori di tipo II ed elementi viceversa di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 21 22 incondizionata copertura test in lavoro accademico, un livello di significatività di 1, 5, o 10 viene utilizzato in genere nella gestione del rischio, errori di tipo II può essere molto costoso in modo che un livello di significatività del 10 può essere opportuno Spesso, non abbiamo un gran numero di osservazioni disponibili per test a ritroso, e certamente in genere non hanno un gran numero di violazioni, T 1, che sono le osservazioni informativi E 'quindi spesso meglio affidarsi a Monte Carlo P-valori simulati piuttosto che quelli da 2 elementi di distribuzione di Gestione dei rischi finanziari seconda edizione 2012 di Peter Christoffersen 22 23 incondizionato copertura test i valori P simulati per un particolare valore di test può essere calcolato generando primo 999 campioni iid casuale Bernoulli (p) variabili, in cui la dimensione del campione è uguale al campione reale a portata di mano. Alla luce di questi campioni artificiali possiamo calcolare 999 statistiche test simulati, li chiamano il P-value simulato viene quindi calcolato come la percentuale di valori simulati UC LR che sono più grandi delle realtà ottenuti LR elementi di valore di prova UC di Gestione dei rischi finanziari Seconda Edizione 2012 by Peter Christoffersen 23 24 incondizionato copertura test possiamo scrivere Elementi di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 24 dove 1 () assume il valore di uno se l'argomento è vero e zero altrimenti Per calcolare i test, in primo luogo, abbiamo bisogno di campioni in cui le violazioni di VaR realmente accaduti che è, abbiamo bisogno di alcuni tra quelli nella sequenza colpo Se, per esempio, eliminare i campioni simulati con zero o una violazione prima di procedere con il calcolo di prova, allora siamo a tutti gli effetti di condizionamento della prova su aver osservato almeno due violazioni 25 Indipendenza test dovremmo essere preoccupati se tutte le violazioni VAR o colpi in un campione stanno accadendo intorno allo stesso tempo che è stato il caso della Figura 13.1 Se le violazioni di VaR sono raggruppati poi il risk manager possono essenzialmente prevedere che se oggi è un violazioni, poi domani è più che p.100 probabilmente una violazione pure. Questo chiaramente non è soddisfacente. In una tale situazione il risk manager dovrebbe aumentare il VaR, al fine di ridurre la probabilità condizionale di una violazione al p promessa Il nostro compito è quello di creare un test che sarà in grado di respingere VaR con violazioni cluster Elementi di Gestione dei rischi finanziari Seconda Edizione 2012 Peter Christoffersen 25 26 Independence prova a tal fine, assumere la sequenza successo dipende nel tempo e che può essere descritto come un cosiddetto primo ordine di sequenza Markov con gli elementi di matrice probabilità di transizione di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 26 Queste probabilità di transizione semplicemente che subordinata oggi essere un non-violazione (cioè I t 0), allora la probabilità di domani essere una violazione (cioè, T1 1) è 01 27 Independence prova la probabilità di domani essere violazione dato oggi è anche una violazione è definita da elementi di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 27 il primo ordine proprietà di Markov si riferisce al presupposto che conta solo risultato di oggi per domani esito Come sono possibili solo due esiti (zero e uno ), le due probabilità 01 e 11 descrivono l'intero processo Similmente, la probabilità di domani essere una violazione dato oggi non è una violazione è definito da 28 Independence prova la probabilità di un nonviolation seguendo un nonviolation è 1- 01, e la probabilità di un nonviolation seguito di una violazione è 1- 11 Se osserviamo un campione di osservazioni T, la funzione probabilità che il processo Markov primo ordine come elementi di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 28 dove T ij, i, j 0, 1 è il numero di osservazioni con AJ dopo un i 29 Indipendenza prova Prendendo derivate prime rispetto alle 01 e 11 e l'impostazione di questi derivati a zero, siamo in grado di risolvere per la massima verosimiglianza stima Elementi di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 29 utilizzando poi il fatto che le probabilità devono sommare a uno, abbiamo 30 Indipendenza prova che dà la matrice di stima probabilità di transizione Elementi di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 30 Tenendo conto della dipendenza nella sequenza colpo corrisponde a consentire 01 a essere diverso da 11 Siamo tipicamente preoccupati sulla dipendenza positiva, che ammonta alla probabilità di una violazione a seguito di una violazione (11) essendo maggiore della probabilità di una violazione seguendo un nonviolation (01) 31 Independence prova Se, d'altro canto, i colpi sono indipendenti nel corso del tempo, allora la probabilità di una violazione di domani non dipende da essere oggi una violazione o meno, e ci scrivono 01 11 Sotto l'indipendenza, la matrice di transizione è quindi elementi di Financial Risk Management Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 31 possiamo testare l'ipotesi indipendenza 01 11 utilizzando un test di rapporto di verosimiglianza 32 Independence test dove è la probabilità sotto l'ipotesi alternativa dal test uc LR In grandi campioni, la distribuzione del test ind statistica LR è 2 con un grado di libertà ma siamo in grado di calcolare il P-value utilizzando la simulazione come abbiamo fatto prima abbiamo ancora una volta generiamo 999 campioni artificiali di IID variabili di Bernoulli, calcolano 999 statistiche test artificiali, e trovare la condivisione dei valori di test simulati che sono più grandi rispetto al valore di test vero e proprio. Elementi di Gestione dei rischi finanziari Seconda Edizione 2012 by Peter Christoffersen 32 33 Indipendenza test In pratica, in sede di attuazione delle prove ind LR si possono incorrere in campioni in cui T 11 0 In questo caso, abbiamo semplicemente calcoliamo la funzione di verosimiglianza come elementi di Financial Risk Management seconda Edizione 2012 da Peter Christoffersen 33 34 condizionale copertura Testing in definitiva, abbiamo a cuore allo stesso tempo testare se le violazioni di VaR sono indipendenti e il numero medio di violazioni è corretto possiamo testare congiuntamente per l'indipendenza e la copertura corretta usando i condizionali Elementi di prova di copertura del rischio finanziario Gestione seconda Edizione 2012 da Peter Christoffersen 34 che corrisponde al test che 01 11 p 35 condizionale copertura test Elementi di Financial Risk Management Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 35 si noti che il test LR cc prende la probabilità dalla ipotesi nulla nel test uc LR e lo combina con la probabilità dall'ipotesi alternativa nel test ind LR. Pertanto, 36 condizionale copertura Test in modo che il test congiunto di copertura condizionale può essere calcolato semplicemente sommando i due test individuali per la copertura incondizionata e l'indipendenza Come prima, il P-valore può essere calcolato da elementi di simulazione di Gestione dei rischi finanziari Seconda Edizione 2012 by Peter Christoffersen 36 37 test di dipendenza di ordine superiore nel capitolo 1 abbiamo usato la funzione di autocorrelazione (ACF) per valutare la dipendenza nel tempo rendimenti e squadrata ritorna naturalmente possiamo usare la ACF per valutare la dipendenza della sequenza colpo VaR così Tracciare le autocorrelazioni hit-sequenza contro la loro ordine di ritardo mostreranno se il modello di rischio dà luogo a colpi autocorrelati, che non dovrebbe Come nel capitolo 3, la significatività statistica di un insieme di autocorrelazioni può essere testato formalmente usando gli elementi statistici Ljung-Box di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 37 38 test di dipendenza di ordine superiore Viene verificata l'ipotesi nulla che l'autocorrelazione per ritardi da 1 a m sono tutti insieme a zero tramite elementi di Financial Risk Management Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 38 dove si trova il autocorrelazione della sequenza VaR colpo per ordine di ritardo 39 test di dipendenza di ordine superiore la distribuzione chisquared con m gradi di libertà è denotato da 2 m rifiutiamo l'ipotesi nulla che ha colpito autocorrelazioni per ritardi da 1 a m sono congiuntamente zero quando il LB (m ) valore di prova è maggiore del valore critico della distribuzione chi-quadrato con m gradi di elementi libertà di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 39 40 aumentare le informazioni di cui il vantaggio di aumentare il set di informazioni non è solo per aumentare la il potere delle prove, ma anche per aiutare a capire le zone in cui il modello di rischio è misspecified. Questa comprensione è la chiave per migliorare ulteriormente i modelli di rischio. Se definiamo il vettore delle variabili disponibili per il risk manager al tempo t come X t, quindi l'ipotesi nulla di un modello di rischio corretta può essere scritta come elementi di Financial Risk Management Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 40 41 Aumentare le informazioni di cui il prima ipotesi dice che probabilità condizionale di ottenere una violazione VaR il giorno T1 dovrebbe essere indipendente da qualsiasi variabile osservata al tempo t, e dovrebbe essere pari al tasso di copertura del VaR promesso, p Questa ipotesi è equivalente al valore atteso condizionato di un essere violazione VaR pari a p la ragione per l'equivalenza è che io T1 può assumere solo uno dei due valori: 0 e 1 Quindi, possiamo scrivere il valore atteso condizionato come elementi di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 41 42 un approccio di regressione Consideriamo regredire la sequenza di colpo sul vettore di variabili conosciute, X T in una regressione lineare semplice, avremmo Elementi di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 42 dove l'errore termine e t1 si presume che sia indipendente dal regressore, X t l'ipotesi che EI t1 X tp è quindi equivalente a quanto X t è noto, prendendo aspettative rendimenti che può essere vero solo se B 0 P e B 1 è un vettore di zeri 43 un approccio Regression In questo quadro di regressione lineare, il nulla ipotesi di un modello di rischio corretta sarebbe quindi corrispondono agli elementi ipotesi di Gestione dei rischi finanziari seconda edizione 2012 di Peter Christoffersen 43 che possono essere testati con un F-test standard il p-value dal test può essere calcolato utilizzando campioni simulati come descritto in precedenza non vi è, naturalmente, alcuna ragione particolare per cui le variabili esplicative dovrebbero entrare l'aspettativa condizionale in modo lineare, ma forme funzionali non lineari potrebbero essere testati e 44 backtesting Expected Shortfall nel Capitolo 2, abbiamo sostenuto che il valore a rischio-aveva certo svantaggi come una misura di rischio, e abbiamo definito Expected Shortfall (ES), come una valida elementi alternativi di Gestione dei rischi finanziari seconda Edizione 2012 by Peter Christoffersen 44 ora vogliamo pensare a come backtest la misura del rischio ES possiamo testare la misura ES verificando se il vettore X t ha qualche capacità di spiegare la deviazione del deficit osservato o la perdita, - R PF, t1, dalla expected shortfall nei giorni in cui il VaR è stato violato 45 backtesting previsto Shortfall Matematicamente, possiamo scrivere Elementi di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 45 dove t1 si riferisce ai giorni in cui il VaR è stato violato le osservazioni dove il VaR non è stata violata sono semplicemente rimossi dal campione l'e t1 termine di errore è di nuovo presume essere indipendente dal regressore, X t Per testare l'ipotesi nulla che il modello di rischio da cui sono state effettuate le previsioni ES utilizza tutte le informazioni in modo ottimale (B 1 0), e che non è di parte (b 0 0), possiamo testare congiuntamente che B 0 B 1 0 46 backtesting l'intera distribuzione piuttosto che concentrarsi su particolari misure di rischio dalla distribuzione di ritorno, come il VaR o Expected Shortfall (ES), si potrebbe invece decidere di backtest l'intera distribuzione di ritorno dal modello di rischio Ciò avrebbe il vantaggio di potenzialmente aumentare ulteriormente il potere per rifiutare modelli di rischio cattivi si noti comunque che siamo di nuovo cambiando l'oggetto di interesse: se viene riportato solo il VaR, per esempio dalla storica simulazione, allora non possiamo testare la distribuzione Assumendo che il modello di rischio produce una distribuzione del tempo cumulativo per i ritorni, lo chiamano F t () Elementi di Financial Risk Management Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 46 47 backtesting l'intera distribuzione Poi, alla fine di ogni giornata, dopo aver osservato rendimento del portafoglio attuale, possiamo calcolare modelli di rischio probabilità di osservare un ritorno al di sotto del reale ci sarà indicare questo trasformare probabilità da elementi di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 47 Se stiamo usando corretto modello di rischio per prevedere la distribuzione di ritorno, allora non dovremmo essere in grado di prevedere i modelli di rischio probabilità di cadere al di sotto di rendimento effettivo In altre parole, il tempo serie di probabilità osservati dovrebbe essere distribuito in modo indipendente nel corso del tempo come Uniform (0,1) variabile 48 backtesting l'intera distribuzione Abbiamo quindi vogliamo considerare prove di elementi ipotesi nulla di Gestione dei rischi finanziari Second Edition 2012 da Peter Christoffersen 48 Uniform (0, 1) funzione di distribuzione è piatta sull'intervallo 0 a 1 e azzerare tutto il resto come variabile è una probabilità, deve trovano nel zero a un intervallo a diagnostica visiva sulla distribuzione sarebbe di costruire semplicemente un istogramma e controllare per vedere se sembra ragionevolmente piatta Se deviazioni sistematiche da una linea piatta appaiono nel istogramma, allora saremmo concludere che la distribuzione del modello di rischio è misspecified. 49 Backtesting l'intera distribuzione, ad esempio, se il vero dati rendimento del portafoglio segue una distribuzione FAT coda Studenti t (d), ma il risk manager utilizza un modello di distribuzione normale, poi vedremo troppi. s vicino allo zero e uno, troppi circa 0,5, e troppo pochi altrove Questo sarebbe solo un altro modo di dire che i dati restituisce osservati hanno più osservazioni che accompagnano le code e intorno allo zero rispetto alla distribuzione normale permette. Elementi di Gestione dei rischi finanziari Seconda Edizione 2012 by Peter Christoffersen 49 50 Figura 13.2: Istogramma degli elementi probabilità di Gestione dei rischi finanziari Seconda Edizione 2012 Transform da Peter Christoffersen 50 51 backtesting la distribuzione in tutta la Figura 13.2 mostra l'istogramma di una sequenza, ottenuto da prendere F t (R PF, t1 ) to be normally distributed with zero mean and variance d(d-2), when it should have been Students t(d), with d 6 Thus, we use the correct mean and variance to forecast the returns, but the shape of our density forecast is incorrect The histogram check is of course not a proper statistical test, and it does not test the time variation in Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 51 52 Backtesting the Entire Distribution If we can predict using information available on day t, then is not iid and the conditional distribution forecast, F t (R PF, t1 ) is therefore not correctly specified either We want to consider proper statistical tests here Unfortunately, testing the i. i.d. uniform distribution hypothesis is cumbersome due to the restricted support of the uniform distribution Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 52 53 Backtesting the Entire Distribution We therefore transform the i. i.d. Uniform to an i. i.d. standard normal variable using the inverse cumulative distribution function, -1 We write Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 53 We are now left with a test of a variable conforming to the standard normal distribution, which can easily be implemented We proceed by specifying a model that we can use to test against the null hypothesis 54 Backtesting the Entire Distribution Assume again, for example, that we think a variable X t may help forecast Then we can assume the alternative hypothesis Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 54 Then the log-likelihood of a sample of T observations of. under the alternative hypothesis is where we have conditioned on an initial observation Parameter estimates can be obtained from maximum likelihood or from linear regression 55 Backtesting the Entire Distribution We can then write a likelihood ratio test of correct risk model distribution as Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 55 where the degrees of freedom in the 2 distribution will depend on the number of parameters, nb, in the vector b 1 If we do not have much of an idea about how to choose X t, then lags of itself would be obvious choices 56 Backtesting Only the Left Tail of the Distribution In risk management, we often only really care about forecasting the left tail of the distribution correctly Testing the entire distribution as we did above, may lead us to reject risk models which capture the left tail of the distribution well, but not the rest of the distribution Instead we should construct a test which directly focuses on assesses the risk models ability of capturing the left tail of the distribution which contains the largest losses Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 56 57 Backtesting Only the Left Tail of the Distribution Consider restricting attention to the tail of the distribution to the left of the VaR p t1 that is, to the 100. p largest losses If we want to test that the observations from, for example, the 10 largest losses are themselves uniform, then we can construct a rescaled variable as Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 57 58 Backtesting Only the Left Tail of the Distribution Then we can write the null hypothesis that the risk model provides the correct tail distribution as Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 58 or equivalently Figure 13.3 shows the histogram of corresponding to the 10 smallest returns The data again follow a Students t(d) distribution with d 6 but the density forecast model assumes the normal distribution 59 Figure 13.3: Histogram of the Transform Probability from the 10 Largest Losses Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 59 60 Backtesting Only the Left Tail of the Distribution We have simply zoomed in on the leftmost 10 of the histogram from Figure 13.2 The systematic deviation from a flat histogram is again obvious To do formal statistical testing, we can again construct an alternative hypothesis as in Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 60 for t1 such that R PF, t1 61 Backtesting Only the Left Tail of the Distribution We can then calculate a likelihood ratio test Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 61 where nb again is the number of elements in the parameter vector b 1 62 Stress Testing Due to the practical constraints from managing large portfolios, risk managers often work with relatively short data samples This can be a serious issue if the historical data available do not adequately reflect the potential risks going forward The available data may, for example, lack extreme events such as an equity market crash, which occurs very infrequently Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 62 63 Stress Testing To make up for the inadequacies of the available data, it can be useful to artificially generate extreme scenarios of main factors driving portfolio returns and then assess the resulting output from the risk model This is referred to as stress testing, since we are stressing the model by exposing it to data different from the data used when specifying and estimating the model Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 63 64 Stress Testing At first pass, the idea of stress testing may seem vague and ad hoc Two key issues appear to be how should we interpret the output of the risk model from the stress scenarios, and how should we create the scenarios in the first place We deal with each of these issues in turn Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 64 65 Combining Distributions for Coherent Stress Testing VaR and ES are proper probabilistic statements: What is the loss such that I will loose more only 1 of the time (VaR) What is the expected loss when I violate my VaR (ES) Standard stress testing does not tell the portfolio manager anything about the probability of the scenario happening, and it is therefore not at all clear what the portfolio rebalancing decision should be Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 65 66 Combining Distributions for Coherent Stress Testing Once scenario probabilities are assigned, then stress testing can be very useful To be explicit, consider a simple example of one stress scenario, which we define as a probability distribution f stress ( ) of the vector of factor returns We simulate a vector of risk factor returns from the risk model, calling it f ( ), and we also simulate from the scenario distribution, f stress ( ) Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 66 67 Combining Distributions for Coherent Stress Testing If we assign a probability of a draw from the scenario distribution occurring, then we can combine the two distributions as in Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 67 Data from the combined distribution is generated by drawing a random variable U i from a Uniform(0,1) distribution If U i is smaller than , then we draw a return from f stress ( ) otherwise we draw it from f( ) 68 Combining Distributions for Coherent Stress Testing Once we have simulated data from the combined data set, we can calculate the VaR or ES risk measure on the combined data. If the risk measure is viewed to be inappropriately high then the portfolio can be rebalanced. Assigning the probability, , also allows the risk manager to backtest the VaR system using the combined probability distribution f comb ( ) Any of these tests can be used to test the risk model using the data drawn from f comb ( ) Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 68 69 Choosing Scenarios Having decided to do stress testing, a key challenge to the risk manager is to create relevant scenarios The risk manager ought to do the following: Simulate shocks which are more likely to occur than the historical data base suggests Simulate shocks that have never occurred but could Simulate shocks reflecting the possibility that current statistical patterns could break down Simulate shocks which reflect structural breaks which could occur Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 69 70 Choosing Scenarios While largely portfolio specific, the long and colorful history of financial crises may give inspiration for scenario generation. Scenarios could include crises set off by political events or natural disasters. Scenarios could be the culmination of pressures such as a continuing real appreciation building over time resulting in a loss of international competitiveness. The effects of market crises can also be very different They can result in relatively brief market corrections or they can have longer lasting effects Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 70 71 Figure 13.4: The Fifteen Largest One-day Percentage Declines on the Dow Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 71 72 Stress Testing the Term Structure of Risk The Filtered Historical Simulation (or bootstrapping) method to construct the term structure of risk can be used to stress test the term structure of risk as well Rather than feeding randomly drawn shocks through the model over time we can feed a path of historical shocks from a stress scenario through the model The stress scenario can for example be the string of daily shocks observed from September 2008 through March 2009 The outcome of this simulation will show how a stressed market scenario will affect the portfolio under consideration Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 72 73 Figure 13.5: Bear Market Episodes in the Dow Jones Index Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 73 74 Summary Real life VaRs. Backtesting VaR. Unconditional and conditional approaches. A Regression-based Approach. Backtesting Expected Shortfall. Backtesting Distributions and Distribution tails. A Coherent Approach to Stress Testing. Stress Testing the Term Structure of Risk Elements of Financial Risk Management Second Edition 2012 by Peter Christoffersen 74
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